能見 基彦* Motohiko NOHMI
常田 友紀* Tomoki TSUNEDA
鶴 若菜** Wakana TSURU
横田 和彦*** Kazuhiko YOKOTA
*
技術・研究開発・知的財産統括部
**
佐賀大学
***
青山学院大学
絞り流路を含む管路系において発生するキャビテーションサージの流体解析を実施した。絞り部の上流と下流に関し，圧力波の伝播を考慮した解析と，非圧縮性流れと仮定した解析を実施した。解析結果に対し，大橋－秋元クライテリアの評価を行った結果，波動伝播の考慮が，必ずしも必要ではない結果となった。絞り部の上流は，圧力や流速の変動が小さく，一方，下流の流れは大きく変動することが明らかになった。このような場合は，下流の流れの変動を許容する出口境界条件を設定することが必要である。
CFD analysis was performed on the cavitation surge generated in the contraction channel. The case where pressure waves propagate through the pipeline upstream and downstream of the contraction was compared with those when incompressible assumption was applied. It was found that fluctuations in flow rate and static pressure occurred only downstream of the contraction. In such cases, outlet boundary conditions that can take into account downstream fluid fluctuations are needed.
Keywords: Cavitation Surge, Pressure Wave, Method of Characteristics, Contraction, Orifice
前報において，管路系の流体の変動現象に対し，流体の圧縮性にもとづく波動と考えるべきか，あるいは剛体的な流体柱（水ならば水柱）の並進運動として取り扱えるかを判断する指標として大橋と秋元によるクライテリアを紹介した1）。管路の両端に加振源と静圧一定のタンクを有する単純管路系を対象に，このクライテリアの妥当性を検証した。
本報では，このクライテリアを，具体的にキャビテーションサージに適用し，現象を考察した事例を紹介する。ポンプにおいてキャビテーションが発生しても，通常の運用ではその影響は軽微であり，実用上の問題は無い。しかしながら，非設計点において，汽車音と呼ばれる騒音や管路系の振動が発生する場合がある2）。これがキャビテーションサージと呼ばれる現象であり，産業用ポンプのみならず，ロケットポンプのような先端的なポンプでも重要な検討課題となっており，近年も多くの研究者が，その解明に取り組んでいる。ポンプ設計者には，これを回避すること，あるいは，なるべく振動騒音を低減することが求められる。管路系において発生するキャビテーションサージは，一般的なターボ形流体機械の羽根車回転数より低い周波数の現象である。またキャビテーション発生箇所近傍のみならず周囲の配管系内の流動との連成問題であることから，数値解析を行う場合，時間的にも空間的にも大規模な計算になる傾向がある。キャビテーション発生箇所の上流と下流の管路が長大な場合には，管路系を伝播する圧力波の考慮が必要となる。そのしきい値として，大橋－秋元クライテリアを用いることができる1）。
L>c/（kf） 圧縮性（波動）を要考慮
L<c/（kf） 非圧縮性で取り扱える
ここでLは配管長，cは管路系を伝播する波動の音速，fはサージ周波数である。kは無次元係数であり，管路が両側自由端あるいは両側固定端と見なせる場合，8～10が推奨されている。片側自由端・片側固定端の場合，kの推奨値は前記の半分となる。液中波動を数値解析する場合，液体の音速を用いたCFL条件を満足する計算を実施しなければならない。一般に水を扱う流体機械では，多くの場合，その内部流速は50 m/s以下と考えられる。一方，純粋な水の音速は常温常圧で約1500 m/sであり，気泡の混入や管の弾性変形を考慮しても1000 m/s以上となる場合が通常である。CFL数1の条件を忠実に守ると，同一計算格子の条件では，圧縮性解析と非圧縮性解析で時間刻みが約20～30倍（前記の音速と最大内部流速の比）以上も異なる。すなわち波動の考慮は，キャビテーションサージの計算規模を，さらに大きくする。このためキャビテーションサージのCFDでは，対象となる現象を事前に十分検討し，必要な精度を確保しつつ計算規模を小さくすることができれば有益である。その手法として，キャビテーションの発生部近傍のみ三次元解析を行い，その他の管路系要素は，集中定数系あるいは管内一次元流の解析で取り扱い，両者を組み合わせる方法も提案されている。Table 1に，主にポンプ系を対象としたキャビテーションサージの計算手法の分類を示す3），4）。表中の数字は各種の手法を取り扱った参考文献の番号である。筆者らは，液相の圧縮性を考慮しない二次元／三次元キャビテーションCFDと，特性曲線法による管内一次元波動伝播の解析を連成する手法を開発した4）。この手法は，液体の圧縮性を考慮する特性曲線法と液相の圧縮性を考慮しない二次元／三次元解析領域で，音響インピーダンス（密度と音速の積）が極端に異なり，両領域の接合部で波動の反射が発生する問題点がある。しかしながら長大な管路系において，相対的に小さい領域にキャビテーションが発生する場合では効率的な計算法と考える。本研究では，本手法の妥当性を評価する研究の一環として，絞り流路に発生するキャビテーションを対象に，①絞り部近傍のみの二次元キャビテーション解析，②絞り部近傍の二次元キャビテーション解析と，上流下流の管路部分の特性曲線法解析の組み合わせ，③絞り部と上流下流の全管路を対象とした二次元キャビテーション解析の三通りの解析を実施し，それぞれ比較した。
Table 1 Classification Table of Computation Methods of Pump Cavitation Surge with Piping System Dynamics
解析対象はFig. 1（a）に示す二次元絞り流路である。入口から流入にした水が絞り部で増速され，キャビテーションが発生するが，下流の拡大部での減速と，それに伴う静圧回復により，キャビテーションは出口部に達する前に消滅する状態を解析する。この絞りを含む管路系全体をFig. 1（b）に示す。管路長LU ，LD はそれぞれ1 m一定である。二次元解析領域はΔx＝1 mmとΔy＝0.5 mm一定の二次元格子で分割される。解析は市販コードANSYS-FLUENT（Ver.18）を用い，キャビテーションモデルはSchnerr-Sauerモデル，乱流モデルは定常解析ではSSTk-ωモデル，非定常解析ではこれにReboud修正（次数n＝5）を加えて，キャビテーションの非定常性を強めている9）。管路部に特性曲線法を用いる際は，解の数値的な安定性も考慮して，通常の半分程度の音速500 m/sとし，さらにCFL数は0.5としている4）。
Fig. 1 Objective contraction with piping system:
境界条件と初期条件は，それぞれ
①絞り部近傍のみの二次元キャビテーション解析の場合
入口を流速5 m/s一定，出口を静圧45000 Pa一定とする。SSTk-ω乱流モデルを用いて定常解を求め，Reboud修正を加えて非定常解析を実施
②二次元キャビテーション解析と，上流下流の管路部分の特性曲線法解析の組み合わせの場合
上記①の解析において，非定常計算開始後2秒後の結果を初期条件とする。この初期流れ場を用い，準定常の過程と管摩擦を考慮して上流と下流のタンク静圧を算出する。この後，タンク部の境界条件は，それぞれ算出した静圧一定とし，特性曲線を含めた非定常計算を開始する。その他，解析の詳細に関しては文献を参照されたい3）。
③全領域を対象とした二次元キャビテーション解析の場合
解析は全管路部と絞り部を対象とする。ただしタンク部は含まない。上流タンク部の境界条件を流速1 m/s，下流部タンク部の境界条件を静圧一定としてSSTk-ω乱流モデルを用いて定常解を求める。この際，下流タンク部の値を適宜修正し，Fig. 1（a）の絞り部出口の位置における静圧がほぼ45000 Paとなるよう調整し，これを初期値とする。非定常解析では乱流モデルにReboud修正を加え，境界条件としては③-1 入口流量規定，出口静圧規定，③-2 入口全圧規定，出口静圧規定，③-3 入口全圧規定，出口流量規定の三通りの解析を実施する。
Fig. 2に解析領域入口，出口の静圧変化，平均流速変化，解析領域内のキャビテーション体積，およびキャビテーション体積の一階時間微分と入口・出口の体積流量差の時間変化を示す。二次元解析であるため，キャビテーション体積と体積流量の単位は，それぞれm2とm2/sである。Fig. 2より，上流側の流速と静圧は，僅かなスパイク状の変動の他，ほとんど変動せず，下流側の流速が大きく変動していることが分かる。解析領域の入口部の流速値5 m/sと静圧値99.5 kPaからキャビテーション係数σは7.7となる。また，時刻t＝3～6 sの出口流速波形のFFT解析を行うと12.7 Hzと19 Hzにピークが存在する。キャビテーション体積の時間微分と入口・出口の体積流量差の時間変化波形は良く一致し，解析上で質量保存則が良好に保たれていることが分かる。この質量保存の特性は，以下の3-2節，3-3節のケースでも同様である。
Fig. 2 CFD results analyzing only the contraction
Fig. 3 Instantaneous flow fields at t = 6 s
Fig. 4に，絞り部近傍の入口，出口の静圧変化，平均流速変化，解析領域内のキャビテーション体積変化を示す。0.2 s程度の過渡的な変化の後，上流側の流速と静圧は，ほとんど変動せず，下流側の流速と静圧が大きく変動する。
過渡変化後，絞り部入口で流速は5 m/s，キャビテーション係数σは7.7となる。時刻t＝2.5～3 sの絞り部近傍の出口流速波形のFFT解析を行うと4 Hzと234 Hzにピークが存在する。
Fig. 4 CFD results analyzing the whole pipeline by using Method of Characteristics
Fig. 5に，入口流量規定，出口静圧規定の場合の絞り部近傍（Fig. 1（a）の領域）の入口，出口の静圧変化，平均流速変化，解析領域内のキャビテーション体積変化を示す。0.25 s程度の過渡的な変化の後，上流側の流速と静圧は，ほとんど変動せず，下流側の流速と静圧が大きく変動する。過渡変化後は，入口流速は5 m/sであり，キャビテーション係数σは7.2となる。時刻t＝3～6 sの絞り部近傍の出口流速波形のFFT解析を行うと2.3 Hzと4 Hzにピークが存在する。
Fig. 5 CFD results analyzing the whole pipeline: Inlet B.C velocity specified, Outlet B.C. static pressure specified
Fig. 6にt＝6 sの速度分布とボイド率分布の瞬時値を示す。Fig. 6より，絞り部で発生した噴流が再付着するにはかなりの距離を要することが分かる。
Fig. 6 Instantaneous flow fields at t = 6 s
Fig. 7に，入口全圧規定，出口静圧規定の場合の絞り部近傍（Fig. 1（a）の領域）の入口，出口の静圧変化，平均流速変化，解析領域内のキャビテーション体積変化を示す。0.2 s程度の過渡的な変化の後，上流側の流速と静圧は，ほとんど変動せず，下流側の流速と静圧が大きく変動する。過渡変化後に入口流速は4.94 m/sに下がり，キャビテーション係数σは7.2となる。出口部流速は，時刻t＝2～4 sにおいて3 Hz程度の変動を示す。その後のt＝4～6 sの出口流速波形のFFT解析では，6.5 Hzのピークが存在する。
Fig. 7 CFD results analyzing the whole pipeline: Inlet B.C total pressure specified, Outlet B.C. static pressure specified
入口全圧規定，出口流量規定の場合，これまでの結果と傾向が大きく異なる。上流側の流速と静圧が，ほとんど変化しないところは同様であるが，解析領域内のキャビテーション体積値が単調に増大し，キャビテーション領域が絞り部から下流に広がっていく（図省略）。
キャビテーション解析と特性曲線法を組み合わせた解析のキャビテーションサージ周波数は，4 Hzと234 Hzの変動を示し，全流路を対象とした二次元キャビテーション解析では2.3 Hz，4 Hz，3 Hz，6.5 Hzといった周波数が算出された。このうち234 Hzは，絞り部下流の1 mの配管をc＝500 m/sの波動が往復する周波数である250 Hzとほぼ一致している。その250 Hzとの差異は，キャビテーション自体が有するコンプライアンスの影響と考えられる。その他の周波数は，2.3～6.5 Hzの範囲にある。大橋－秋元クライテリアにc＝500 m/s，L＝1 m，k＝8を代入すると，しきい値周波数はf＝62.5 Hzとなる。これより本解析対象において，液相の圧縮性を考慮しなくても良いと考えられる。本解析では，キャビテーション周辺の液相の圧縮性は，いずれの計算でも考慮されていない。これを考慮することにより，キャビテーションサージの周波数が大きく変化するか否かの確認は，今後の重要な課題である。各解析における，キャビテーションサージの周波数のばらつきは，計算開始後の過渡変化が十分に終わっていないことや，それぞれ境界条件が異なり，絞り部入口のキャビテーション係数σにも若干の差異があることの影響が考えられる。この点も，今後の詳細な調査が必要である。
Fig. 4，5，7のいずれの計算結果でも，短い過渡的な変化の後，絞り部の上流で流速，静圧ともに，ほとんど変動がなくなった。これより上流の境界条件として流量一定や全圧一定のどちらを用いても安定に解析が実施できた。キャビテーションサージの発生により，下流の流速は変動するが，絞り部でのキャビテーションの発生によって，その付近の静圧が，ほぼ飽和蒸気圧一定となり，下流の擾乱が上流に伝わりにくくなっていると考えられる。このような状況にも関わらず，入口全圧－出口流量規定の境界条件を規定すると，下流の流速変動が生じないので実際の現象とは乖離する。今回，入口全圧－出口流量規定を設定した場合，サージの振動状態が発生せずに，キャビテーション体積が単調増加したのも，そのためと考える。入口全圧－出口流量規定の境界条件は，ポンプの揚程低下解析において，NPSHaを直接的に指定できる利便性もあって，しばしば用いられる。しかしながら，ポンプキャビテーションサージの非定常解析においては，入口流量－出口静圧規定の計算結果などと比較することによって，その使用の適切性を確認することが必要である。
キャビテーションサージ周波数は，管路長さが長くなると低下する3），11）。本研究においても，絞り部近傍のみの解析では，周波数が12.7 Hzや19 Hzと，他の解析結果と比べ周波数が高くなる結果が得られた。このことから，キャビテーションサージの周波数を精度良く算定する場合は，配管長を実際の現場の配管系に，なるべく合わせることが望ましい。
Fig. 3，5より，絞り部下流の二次元解析と特性曲線法解析の接合位置では，まだ流れが断面内一様となっておらず，流れが一様化するさらに下流で接合するのが適切である。特性曲線法で用いる境界面の流速は，二次元解析の断面平均流速を用いるので質量保存則は満たされるが，二次元解析側には，特性曲線法で求まる静圧一定の境界条件が課せられるので誤差の発生要因となる。一方，非圧縮性解析と圧縮性解析を接続する手法を合理的なものにするには，非圧縮性の領域を適切な大きさに設定する必要がある。詳細の検討は今後の課題であるが，一つの指標として，以下の式（1）が挙げられる。
Lincomp
≤cΔt
……………（1）
ここでLincomp
は非圧縮性計算領域の流れ方向，すなわち圧力波伝播方向の代表長さ，Δtは時間刻み幅である。式（1）の右辺は，特性曲線法の分割格子一つ分の長さとなる。非圧縮性解析領域では音速無限大であるが，その長さを特性曲線法の格子長さと同等にすれば，管路系における圧力伝播の時間遅れなどの計算誤差を小さくできると考えられる。
以上のように今後，検討すべき課題は多いが，キャビテーション解析と特性曲線法の組み合わせた解析が安定に実施できることが確認できた。大橋－秋元クライテリアの評価から，液相の圧縮性の考慮すべき事例では，特性曲線法を用い，全領域の二次元，三次元解析を回避することにより，計算の負荷を大きく下げられることが期待される。
絞り流路のキャビテーションサージに対し，管路系の圧力波伝播を考慮した解析と，液相の圧縮性を無視した解析を実施し，両者を比較した。いずれの解析においても，キャビテーションサージの周波数は大橋－秋元クライテリアで，流体の圧縮性を考慮しなくても良い範囲であることを確認した。本研究の事例では，キャビテーションの上流部では流量や静圧が，ほとんど変動しない結果となった。このような流れ場に対しては，下流の流量の変動を考慮できる境界条件を用いることが必要である。
本稿において，大橋－秋元のクライテリアと呼称している評価方法を，著者のうち一名（能見）が初めて知ったのは，文献12）が最初である。その文献においては1970年の大橋の文献13）を引用し，「大橋のクライテリア」という表記であった。その後，同様の式を載せている，1972年の秋元の文献14）を目にすることになり，両者の業績を考慮して大橋－秋元のクライテリアという呼称を用いることにした1）。その後，たまたま目にした三野による，1982年の水撃現象の解説記事において類似する分類が記載されていることが分かった15）。そこでは現象を波動モデル，振動モデル，剛性モデルの三通りに分類している。また現象の代表周波数ではなく，弁閉鎖時間で整理しているが，その考え方は，大橋や秋元の議論と軌を一つにしている。弁閉鎖時間の4倍を一周期とすると，大橋のクライテリアと三野による剛性モデルの適用域は完全に一致する。このことから，この分類評価手法の真の発案者は，さらに遡ることも想像されるが，残念ながら現時点では，詳細は明らかとなっていない。全ての学術に通じることと考えるが，多数の先人達の発想と地道な努力の積み重ねの上にいまがあることを再認識しつつ，判明した範囲では初期の文献の著者二名で代表して，ここでは大橋－秋元のクライテリアと呼称することを，改めて記す。
本論文は，2018年10月に開催された日本学術会議主催のキャビテーションに関するシンポジウム（第19回）に投稿したものに対し，加筆修整したものである16）。
本研究において，複雑なアルゴリズム実装，ならびに数多くの解析に尽力された兒玉直樹氏に深甚なる謝意を表します。
1） 能見，山﨑，香川，安，姜，横田 2017 大橋－秋元クライテリアに関する数値的考察 第1報単純流体加振系の解析 エバラ時報 No.255 pp 19-23．
2） 能見，2015 ポンプキャビテーション減少の基礎知識［第2回］エバラ時報 No.246 pp 18-21.
3） Nohmi M, Yamazaki S, Kagawa S, An B, Kang D and Yokota K 2017 Numerical study of one dimensional pipe flow under pump cavitation surge FEDSM2017-69427.
4） Nohmi M, Kagawa S, An B, Tsuneda T, Kang D and Yokota K 2018 Cavitation CFD analyses considering the pressure wave propagation within the piping systems IAHR2018-173.
5） Nohmi M, Ikohagi T and Iga Y 2011 On boundary conditions for cavitation CFD and system dynamics of closed loop channel AJK2011-33007.
6） An B and Kajishima T 2013 Transition from rotating cavitation to cavitation surge in a two-dimensional cascade JSME Journal of Fluid Science and Technology 8 (1) pp 20-29.
7） Marie-Magdeleine A, Fortes-Patella R, Lemoine N and Marchand N 2012 Unsteady flow rate simulations methodology for identification of the dynamic transfer function of a cavitating Venturi Proc. CAV2012 pp 527-533.
8） 南里，藤原，河南，吉田2011ロケットエンジン用ターボポンプの入口配管の音響効果を考慮したキャビテーションサージの一次元解析（第3報，非線形要素による周波数の不連続変化）日本機械学会論文集（B編）77巻780号 pp 1630-1640．
9） Nohmi M, Yamazaki S, Kagawa S, An B, Kang D and Yokota K 2016 Numerical analyses for cavitation surge in a pump with the square root shaped suction performance curve ISROMAC-2016.
10） Coutier-Delgosha O, Fortes-Patella R and Reboud J L 2003 Evaluation of turbulence model influence on the numerical simulations of unsteady cavitation J. Fluids Eng. 125 (1) pp 38-45.
11） 佐藤 2011 両吸込み渦巻ポンプのキャビテーションと振動に関する研究 九州工業大学 博士課程学位論文．
12） 南里，谷，河南，吉田，ターボポンプの共鳴キャビテーションサージ現象，ターボ機械39巻4号，（2011），pp1-8．
13） 大橋，ポンプとそれを含む流体系の非定常問題，機械の研究，第22巻第7号，（1970），pp35-42．
14） 秋元，水撃作用と圧力脈動［改訂版］第1編 基礎式および諸定数，オンデマンド出版，（2004），p I-20（初版は，1972年に日本工業新聞社から発行）．
15） 三野，パイプラインの水理設計（その6）－水撃作用（ウォーターハンマー），農業土木学会誌 第50巻 第2号，（1982），pp141-150．
16） 能見，常田，鶴，横田，管路系の圧力波伝播を考慮したキャビテーションサージの数値流体解析，（2018），キャビテーションに関するシンポジウム（第19回）．
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